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(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限.
admin
2019-06-09
65
问题
(Ⅰ)证明方程x
n
+x
n一1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
,1)内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为x
n
,证明
x
n
存在,并求此极限.
选项
答案
(Ⅰ)令f(x)=x
n
+x
n一1
+…+x一1(x>1),则f(x)在[[*],1]上连续,且 [*] 由闭区间上连续函数的介值定理知,方程f(x)=0在([*],1)内至少有一个实根. 当 x ∈([*],1)时 , f(x) =nx
n一1
+ (n一1)x
n一2
+…+2x+1> 1 > 0, 故f(x)在([*],1)内单调增加. 综上所述,方程f(x)=0在([*],1)内有且仅有一个实根. (Ⅱ)由x
n
∈([*],1)知数列{x
n
}有界,又 x
n
n
+x
n
n一1
+…+x
n
=1 x
n+1
n+1
+x
n+1
n
+x
n+1
n一1
+…+x
n+1
=1 因为x
n+1
n+1
>0,所以 x
n
n
+x
n
n一1
+…+x
n
>x
n+1
n
+x
n+1
n一1
+…+x
n+1
于是有 x
n
>x
n+1
,n=1,2,…, 即{x
n
}单调减少. 综上所述,数列{x
n
}单调有界,故{x
n
}收敛. [*]
解析
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考研数学二
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