(1)设A,B为n阶矩阵,|λE-A|=λE-B|且A,B都可相似对角化,证明:A~B. (2)设A=,矩阵A,B是否相似?若A,B相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

admin2021-11-15  24

问题 (1)设A,B为n阶矩阵,|λE-A|=λE-B|且A,B都可相似对角化,证明:A~B.
(2)设A=,矩阵A,B是否相似?若A,B相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

选项

答案(1)因为|λE-A|=|λE-B|,所以A,B有相同的特征值,设为λ1,λ2,…,λn, 因为A,B可相似对角化,所以存在可逆矩阵P1,P2,使得 P1-1AP1=[*], 由P1-1AP1=P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B, 令P1P2-1=P,则P-1AP=B,即A~B. [*]

解析
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