(1)设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=λE-B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2021-11-15 31

问题 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=λE-B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A=

，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

选项

答案(1)因为|λE-A|=|λE-B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得 P₁^-1AP₁=[*]，由P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂得(P₁P₂^-1)^-1A(P₁P₂^-1)=B，令P₁P₂^-1=P，则P^-1AP=B，即A～B. [*]

解析

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考研数学二

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