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  3. 设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n.证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个。

设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n.证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个。

admin2019-09-29  83
问题 设A是m×n矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n.证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个。
选项
答案因为r(A)=r＜n,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1,ξ2,...,ξn-r. 设η0为方程组AX=b的一个特解， 令Β0=η0,Β1=ξ1+η0,Β2=ξ2+η0...,Βn-r=ξn-r+η0,显然Β0，Β1，Β2，Βn-r为方程组AX=b的一组解。 令k0Β0+k1Β1+...+kn-rΒn-r=0,即 （k0+k1+...+kn-r）η0+k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r=0, 上式两边左乘A得（k0+k1+...+kn-r)b=0, 因为b为非零列向量，所以k0+k1+...+kn-r=0,于是k1ξ1+k2ξ2+...+kn-rξn-r=0,注意到ξ1,ξ2,...,ξn-r线性无关，所以k1=k2=...=kn-r=0，故Β0，Β1，Β2，...，Βn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组，设Β1，Β2，...，Βn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解， 令γ1=Β2-Β1,γ2=Β3-Β1,...,γn-r+1=Βn-r+2-Β1,根据定义，易证γ1，γ2，...，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，...，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个。
解析
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考研数学二

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