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假设随机变量X和Y独立同分布. P{X=0}=P{Y=0}=1一p, P{X=1}=P{Y=1}=p. 随机变量Z=问p取何值时,X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?
假设随机变量X和Y独立同分布. P{X=0}=P{Y=0}=1一p, P{X=1}=P{Y=1}=p. 随机变量Z=问p取何值时,X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?
admin
2017-07-26
48
问题
假设随机变量X和Y独立同分布.
P{X=0}=P{Y=0}=1一p, P{X=1}=P{Y=1}=p.
随机变量Z=
问p取何值时,X和Z独立?这时X,Y,Z是否相互独立?
选项
答案
易得X+Y服从二项分布B(2,p),于是 P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1一p), P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =(1一p)
2
+p
2
=1—2p+2p
2
. 若X与Z独立,则 P(X=0,Z=0)=P(X=0)P(Z=0), 其中 P(X=0,Z=0)=P(X=0,X+Y=1)=P(X=0,Y=1) =P(X=0)P(Y=1)=(1一p)p. 因此 (1一p)p一(1一p).2p(1一p), 即p=[*]时,P(X=i,Z=j)=P(X=i)P(Z=j),i,j=0,1,故X与 Z独立. 又因为P(X=0,Y=0,Z=0)=P(X=0,Y=0,X+Y=1)=0, P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)≠0, 所以p=[*]时,X,Y,Z并不相互独立.
解析
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考研数学三
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