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设f(x)二阶可导,且=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0.
设f(x)二阶可导,且=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0.
admin
2018-05-23
42
问题
设f(x)二阶可导,且
=0,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf
’’
(ξ)+2f
’
(ξ)=0.
选项
答案
由[*]=0得f(0)=1,f
’
(0)=0, f(0)=f(1)=1,由罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f
’
(c)=0. 令φ(x)=x
2
f
’
(x), φ(0)=φ(c)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ
’
(ξ)=0, 而φ
’
(x)=2xf
’
(x)+x
2
f
’’
(x),于是2ξf
’
(ξ)+ξ
2
f
’’
(ξ)=0, 再由ξ≠0得ξf
’’
(ξ)+2f
’’
(ξ)=0.
解析
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考研数学一
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