2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤2，c∈(1，2)，证明：｜f’(C)｜≤3．

设f(x)在[0，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤2，c∈(1，2)，证明：｜f’(C)｜≤3．

admin2021-03-18  25
问题 设f(x)在[0，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤2，c∈(1，2)，证明：｜f’(C)｜≤3．
选项
答案由泰勒公式得 f(0)＝f(C)＋f’(C) (0－c)＋[*](0－c) 2，其中ξ1∈(0，c)， f(2)＝f(C)＋f’(C) (2－c)＋[*](2－c) 2，其中ξ2∈(c，2)， 两式相减得 2f(C)＝f(2)－f(0)＋[*] 取绝对值得 2｜f’(C)｜≤｜f(2)｜＋｜f(0)｜＋[*]｜f"(ξ1)｜＋[*]｜f"(ξ2)｜ 则 ｜f(C)｜≤1＋[*][c2＋(2－c)2]， 令[*](x)＝x2＋(2－x)2，令[*](x)＝2x－2(2－x)＝0得x＝1， 由[*](0)＝[*](2)＝4，[*](1)＝2得[*][x2＋(2－x)2]＝4， 从而c2＋(2－c)2≤4，故｜f’(C)｜≤3．
解析
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考研数学二

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