设f(x)在[0,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤2,c∈(1,2),证明:|f’(C)|≤3.

admin2021-03-18  35

问题 设f(x)在[0,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤2,c∈(1,2),证明:|f’(C)|≤3.

选项

答案由泰勒公式得 f(0)=f(C)+f’(C) (0-c)+[*](0-c) 2,其中ξ1∈(0,c), f(2)=f(C)+f’(C) (2-c)+[*](2-c) 2,其中ξ2∈(c,2), 两式相减得 2f(C)=f(2)-f(0)+[*] 取绝对值得 2|f’(C)|≤|f(2)|+|f(0)|+[*]|f"(ξ1)|+[*]|f"(ξ2)| 则 |f(C)|≤1+[*][c2+(2-c)2], 令[*](x)=x2+(2-x)2,令[*](x)=2x-2(2-x)=0得x=1, 由[*](0)=[*](2)=4,[*](1)=2得[*][x2+(2-x)2]=4, 从而c2+(2-c)2≤4,故|f’(C)|≤3.

解析
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