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设f(x)在[0,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤2,c∈(1,2),证明:|f’(C)|≤3.
设f(x)在[0,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤2,c∈(1,2),证明:|f’(C)|≤3.
admin
2021-03-18
31
问题
设f(x)在[0,2]上二阶可导,且|f(x)|≤1,|f"(x)|≤2,c∈(1,2),证明:|f’(C)|≤3.
选项
答案
由泰勒公式得 f(0)=f(C)+f’(C) (0-c)+[*](0-c)
2
,其中ξ
1
∈(0,c), f(2)=f(C)+f’(C) (2-c)+[*](2-c)
2
,其中ξ
2
∈(c,2), 两式相减得 2f(C)=f(2)-f(0)+[*] 取绝对值得 2|f’(C)|≤|f(2)|+|f(0)|+[*]|f"(ξ
1
)|+[*]|f"(ξ
2
)| 则 |f(C)|≤1+[*][c
2
+(2-c)
2
], 令[*](x)=x
2
+(2-x)
2
,令[*](x)=2x-2(2-x)=0得x=1, 由[*](0)=[*](2)=4,[*](1)=2得[*][x
2
+(2-x)
2
]=4, 从而c
2
+(2-c)
2
≤4,故|f’(C)|≤3.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/noy4777K
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考研数学二
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