设向量组试问(1)a为何值时，向量组线性无关?(2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0的通解．

admin2016-01-11 97

问题设向量组

试问(1)a为何值时，向量组线性无关?(2)a为何值时，向量组线性相关，此时求齐次线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0的通解．

选项

答案依题意有x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0．对方程组的系数矩阵A施以初等行变换，得[*] 显然，当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为x₁+x₂+x₃+x₄=0，此时，方程组的通解为[*]其中k₁，k₂，k₃为任意常数．当a≠0时，由[*]显然，当a≠一10时，r(A)=4，故方程组仅有零解，从而α₁,α₂,α₃,α₄线性无关．当a=一10时，r(A)=3＜4，此时方程有非零解，从而α₁,α₂,α₃,α₄线性相关．此时通解为[*]

解析本题考查向量组线性相关性的定义，并注意到向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性无关，其对应的齐次线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0仅有零解；若向量组α₁,α₂,α₃,α₄线性相关，其对应的齐次线性方程组x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0有非零解．

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考研数学二

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