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  3. 设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．

设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．

admin2019-04-22  104
问题 设n阶矩阵
(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．
选项
答案当b=0或n=1时，A=E，于是A的特征值为λ1=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量；对任意n阶可逆矩阵P，均有P一1AP=E．下面考虑b≠0且n≥2的情形． 由[*] 得A的特征值为λ=1+(n—1)b，λ=…=λ=1一b． (1)对于λ1=1+(n一1)b，考虑齐次线性方程组(λ1E一A)x=0，对λ1E－A施以初等行变换，得[*] 解得基础解系为ξ1=(1，1，…，1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为k1ξ1=k(1，1，…，1)T (k1为任意非零常数)． 对于λ2=…=λn=1一b，考虑齐次线性方程组(λ2E一A)x=0．对λ2E-A施以初等行变换，得[*]解得基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，故A的属于λ2的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn(k2，k3，…，kn是不全为零的常数)． (2)令P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则 [*]
解析 本题主要考查含参数的矩阵的特征值、特征向量的计算问题．计算过程中涉及行列式的计算、齐次线性方程组的求解以及矩阵对角化问题，因而是一道综合性较强的试题．由矩阵A的特征多项式｜λE一A｜，求出特征值，然后通过解齐次线性方程组(λE一A)x=0，求特征向量，进而求出P．
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考研数学二

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