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设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵.
设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵.
admin
2019-04-22
73
问题
设n阶矩阵
(1)求A的特征值和特征向量;(2)求可逆矩阵P,使得P
一1
AP为对角矩阵.
选项
答案
当b=0或n=1时,A=E,于是A的特征值为λ
1
=…=λ
n
=1,任意非零列向量均为特征向量;对任意n阶可逆矩阵P,均有P
一1
AP=E.下面考虑b≠0且n≥2的情形. 由[*] 得A的特征值为λ=1+(n—1)b,λ=…=λ=1一b. (1)对于λ
1
=1+(n一1)b,考虑齐次线性方程组(λ
1
E一A)x=0,对λ
1
E-A施以初等行变换,得[*] 解得基础解系为ξ
1
=(1,1,…,1)
T
,所以A的属于λ
1
的全部特征向量为k
1
ξ
1
=k(1,1,…,1)
T
(k
1
为任意非零常数). 对于λ
2
=…=λ
n
=1一b,考虑齐次线性方程组(λ
2
E一A)x=0.对λ
2
E-A施以初等行变换,得[*]解得基础解系为ξ
2
=(1,一1,0,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,一1)
T
,故A的属于λ
2
的全部特征向量为k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
(k
2
,k
3
,…,k
n
是不全为零的常数). (2)令P=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
),则 [*]
解析
本题主要考查含参数的矩阵的特征值、特征向量的计算问题.计算过程中涉及行列式的计算、齐次线性方程组的求解以及矩阵对角化问题,因而是一道综合性较强的试题.由矩阵A的特征多项式|λE一A|,求出特征值,然后通过解齐次线性方程组(λE一A)x=0,求特征向量,进而求出P.
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