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设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
admin
2019-07-23
58
问题
设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
选项
答案
对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<n,方程组有非零解,其同解方程组为x
1
+x
2
+…+x
n
=0,因此得基础 解系为η
1
=(一1,1,0,…,0)
T
,η
2
=(一1,0,1,…,0)
T
,…,η
n-1
=(-1,0,0,…,1)
T
,所以方程组的通 解为 x=k
1
η
1
+…+k
n-1
η
n-1
,其中k
1
,…,k
n-1
为任意常数。 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 [*] 可知当 [*] 时,r(A)=n-1<n,故方程组也有非零解,其同解方程组为 [*] 于是得基础解系为η=(1,2,…,n)
T
,所以方程组的通解为 x=kη,其中k为任意常数。
解析
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考研数学一
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