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设二次型 f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0) 其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b. (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.
设二次型 f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0) 其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b. (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.
admin
2018-11-23
41
问题
设二次型
f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=X
T
AX=aχ
1
2
+2χ
2
2
-2χ
3
2
+2bχ
1
χ
3
,(b>0)
其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求a,b.
(2)用正交变换化f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)为标准型.
选项
答案
(1)A=[*] 由条件知,A的特征值之和为1,即a+2+(-2)=1,得a=1. 特征值之积=-12,即|A|=-12,而 |A|=[*]=2(-2-b
2
) 得b=2(b>0).则 [*] (2)|λE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+3), 得A的特征值为2(二重)和-3(一重). 对特征值2求两个单位正交的特征向量,即(A-2E)X=0的非零解. [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组χ
1
-2χ
3
=0,求出基础解系η
1
=(0,1,0)
T
,η
2
=(2,0,1)
T
,它们正交,单位化:α
1
=η
1
,α
2
=[*]. 方程χ
1
-2χ
3
=0的系数向量η
3
=(1,0,-2)
T
和η
1
,η
2
都正交,是属于-3的一个特征向量,单位化得 α
3
=[*] 作正交矩阵Q=(α
1
,α
2
,α
3
),则 Q
T
AQ=[*] 作正交变换X=QY,则它把f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
.
解析
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0
考研数学一
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