设二次型 f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0) 其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b. (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.

admin2018-11-23  18

问题 设二次型
    f(χ1,χ2,χ3)=XTAX=aχ12+2χ22-2χ32+2bχ1χ3,(b>0)
    其中A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
    (1)求a,b.
    (2)用正交变换化f(χ1,χ2,χ3)为标准型.

选项

答案(1)A=[*] 由条件知,A的特征值之和为1,即a+2+(-2)=1,得a=1. 特征值之积=-12,即|A|=-12,而 |A|=[*]=2(-2-b2) 得b=2(b>0).则 [*] (2)|λE-A|=[*]=(λ-2)2(λ+3), 得A的特征值为2(二重)和-3(一重). 对特征值2求两个单位正交的特征向量,即(A-2E)X=0的非零解. [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组χ1-2χ3=0,求出基础解系η1=(0,1,0)T,η2=(2,0,1)T,它们正交,单位化:α1=η1,α2=[*]. 方程χ1-2χ3=0的系数向量η3=(1,0,-2)T和η1,η2都正交,是属于-3的一个特征向量,单位化得 α3=[*] 作正交矩阵Q=(α1,α2,α3),则 QTAQ=[*] 作正交变换X=QY,则它把f化为Y的二次型f=2y12+2y22-3y32

解析
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