(05年)已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． (I)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2017-04-20 53

问题 (05年)已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1一a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
(I)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x₁，x₂，x₃)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x₁，x₂，x₃)=0的解．

选项

答案(1)f的秩为2，即f的矩阵 [*] 的秩为2．所以有[*]=一4a=0，得a=0． (2)当a=0时，[*]=(λ-2)²λ 可知A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=0． A的属于λ₁=2的线性无关的特征向量为 η₁=(1，1，0)^T，η₂=(0，0，1)^T A的属于λ₃=0的线性无关的特

解析

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考研数学一

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