设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程幺且ATy=0的任何解向量u均有 uTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．

admin2020-03-10 52

问题设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程幺且A^Ty=0的任何解向量u均有
u^Tb=u₁b₁+u₂b₂+…+u_mb_m=0．

选项

答案必要性．把A按列分块为A=[α₁，α₂，…，α_n]，其中α_j(j=1，2，…，n)都是m维列向量，由于方程组Ax=b有解，所以存在向量[k₁，k₂，…，k_n]^T使 b=k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n．又因A^T=[α₁，α₂，…，α_n]^T=[*]，故满足方程组 A^Ty=0的任何解向量u均有α_j^Tu=0(j=1，2，…，n)．因此， u^Tb=b^Tu=k₁α₁^Tu+k₂α₂^Tu+…+k_nα_n^Tu=0．充分性．由于满足方程组A^Ty=0的任何解向量U均有u^Tb=b^Tu=0，所以u满足方程组 [*] 令r(A)=r，则，r(A^T)=r．从而方程组A^Ty=0的基础解系含m—r个线性无关的解向量．因为满足方程组A^Ty=0的任何解向量u都满足方程组①，以及满足方程组①的任何解向量u必满足方程组A^Ty=0，所以方程组①与方程组A^Ty=0同解，故方程组①的解空间的维数为m一r．于是 [*]=m一(m一r)=r．因而r(A)=r[A┆b]=r，故非齐次线性方程组Ax=b有解．

解析

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考研数学三

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设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程幺且ATy=0的任何解向量u均有 uTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．

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