计算：记un=∫01|ln t|[ln(1+t)]ndt(n=1,2，…)，求极限

admin2019-01-19 58

问题计算：
记u_n=∫₀¹|ln t|[ln(1+t)]ⁿdt(n=1,2，…)，求极限

选项

答案方法一：由(I)知，0≤u_n=∫₀¹|lnt|[ln(1+t)]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ|lnt|dt，因为 ∫₀¹tⁿ|lnt|dt=一∫₀¹tⁿ(lnt)dt=一(lnt)[*] 所以[*]tⁿ|lnt|dt=0。由夹逼准则得 [*]|lnt|[In(1+t)]ⁿdt=0。方法二：0＜∫₀¹tⁿ|lnt|dt=一∫₀¹tⁿ(lnt)dt=[*] 由夹逼准则得 [*]tⁿ|lnt|dt=0。结合(I)中结论得[*]u_n=0。

解析

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（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt与∫01tn|lnt|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。
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