设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,-1,-1,1)T,β2=(1,-1,1,-1,2)T,β3=

admin2017-01-14  19

问题 设线性方程组(1)Ax=0的一个基础解系为α1=(1,1,1,0,2)T,α2=(1,1,0,1,1)T,α3=(1,0,1,1,2)T。线性方程组(2)Bx=0的一个基础解系为β1=(1,1,-1,-1,1)T,β2=(1,-1,1,-1,2)T,β3=(1,-1,-1,1,1)T。求
(Ⅰ)线性方程组(3)的通解;
(Ⅱ)矩阵C=(AT,BT)的秩。

选项

答案(Ⅰ)线性方程组(1)Ax=0的通解为x=k1α1+k2α2+k3α3;线性方程组(2)Bx=0的通解为x=l1β1+l2β2+l3β3;线性方程组(3)[*]的解是方程组(1)和(2)的公共解,故考虑线性方程组(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3,将其系数矩阵作初等行变换,即 [*] 则方程组(4)的一个基础解系是(-2,0,2,-1,0,1)T。将其代入(4)得到方程组(3)的一个基础 解系ξ=-2α1+2α2=-β13=(0,-2,0,2,0)T。所以方程组(3)的通解为 x=K(0,-1,0,1,0)T,其中K为任意常数。 (Ⅱ)线性方程组(3)[*]与线性方程组xT(AT,BT)=0等价,而方程组(3)的基础解系只含一个向量,故矩阵C=(AT,BT)的秩r(C)=5-1=4。

解析
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