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设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1,求∫12f(x)dx。
设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1,求∫12f(x)dx。
admin
2018-01-30
81
问题
设f(x)连续,且∫
0
x
tf(2x一t)dt=arctanx
3
,f(1)=1,求∫
1
2
f(x)dx。
选项
答案
令2x—t=μ,则原等式变为 ∫
x
2x
(2x一μ)f(μ)dμ=arctanx
3
,即2x∫
x
2x
f(μ)dμ—∫
x
2x
μf(μ)dμ=arctan(x
3
), 两边同时对x求导,可得2∫
x
2x
f(μ)dμ—xf(x)=[*]。 令x=1,则上面的等式可以化为2∫
1
2
f(μ)dμ一f(1)=[*],根据已知条件f(1)=1可知∫
1
2
f(x)dx=[*]。
解析
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0
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