设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。

admin2018-01-30 46

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x一t)dt=arctanx³，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx。

选项

答案令2x—t=μ，则原等式变为 ∫_x^2x(2x一μ)f(μ)dμ=arctanx³，即2x∫_x^2xf(μ)dμ—∫_x^2xμf(μ)dμ=arctan(x³)，两边同时对x求导，可得2∫_x^2xf(μ)dμ—xf(x)=[*]。令x=1，则上面的等式可以化为2∫₁²f(μ)dμ一f(1)=[*]，根据已知条件f(1)=1可知∫₁²f(x)dx=[*]。

解析

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