一长为l(米)、线密度为ρ(千克／米)的链条，两端各系一个质量为m(千克)的物体A与B．开始时，仅A下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计．问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下．

admin2018-08-22 59

问题一长为l(米)、线密度为ρ(千克／米)的链条，两端各系一个质量为m(千克)的物体A与B．开始时，仅A下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计．问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下．

选项

答案设以开始下垂点作为坐标原点，向下为x轴正向．设在t(秒)时，物体A已下垂x(米)，则此时使该系统向下的力为(ρx-m)g，整个运动系统的质量为ιρ+2m，于是由牛顿第二定律，有 [*] 即[*]其中[*]初始条件是x(0)=0，x’(t)=0．解之．得通解 [*] 再由初始条件得特解 [*] 令x=ι，解得 [*]

解析

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考研数学二

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一长为l(米)、线密度为ρ(千克／米)的链条，两端各系一个质量为m(千克)的物体A与B．开始时，仅A下垂，其余部分平置于桌面上，假设物体、链条与桌面的摩擦均略而不计．问从开始算起经过多少时间，链条全部从桌面上滑下．

考研数学二

求二重积分其中D是由曲线直线y=2，y=x所围成的平面区域．

[*]

设b＞a＞e，证明：ab＞ba．

若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．

设f(x)在闭区间[a，b]上具有连续的二阶导数，且f(a)=f(b)=0，当x∈(a，b)时，f(x)≠0．试证明：

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为一12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

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