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设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),当x>0时满足xf’(x)=(1一x)f(x),当x≤0时,f(x)=0.问常数a为何值时,概率P{a<X<a+1}最大.
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),当x>0时满足xf’(x)=(1一x)f(x),当x≤0时,f(x)=0.问常数a为何值时,概率P{a<X<a+1}最大.
admin
2016-01-11
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问题
设连续型随机变量X的概率密度为f(x),分布函数为F(x),当x>0时满足xf’(x)=(1一x)f(x),当x≤0时,f(x)=0.问常数a为何值时,概率P{a<X<a+1}最大.
选项
答案
由xf’(x)=(1一x)f(x),解得f(x)=cxe
-x
,x>0,再由∫
-∞
+∞
f(x)dx=1,得c=1.所以 [*] 又P{a<X<a+1}=∫
a
a+1
xe
-x
dx. 设φ(a)=∫
a
a+1
xe
-x
dx,φ’(a)=(a+1)e
-(a+1)
-ae
-a
. [*]
解析
本题没有直接给出概率密度表达式,因此先通过解其所满足的微分方程得到f(x)的表达式,再根据求函数最大最小值的方法确定a.
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考研数学二
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