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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
admin
2016-01-11
90
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
一2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
由矩阵A的特征多项式[*]得A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=一3.对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E一A)x=0,得其基础解系ξ
1
=(2,0,1)
T
,ξ
2
=(0,1,0)
T
. 对于λ
3
=一3,解齐次线性方程组(一3E一A)x=0,得基础解系ξ
3
=(1,0,一2)
T
.由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,为得到规范正交向量组,只需将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,由此得[*]令矩阵[*]则Q为正交矩阵,在正交变换x=Qy下,有[*]且二次型的标准形为f=2y
1
2
+2y
2
2
—3y
3
2
.
解析
本题主要考查用正交变换化二次型为标准形的方法,特征值与特征向量的计算与性质.首先写出二次型f的矩阵A,利用特征值与行列式、迹之间的关系,求出a,b的值.此时该题成为一道常规题了.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Av34777K
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考研数学二
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