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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f"(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(x)>0(x∈(0,1)); (Ⅱ) 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f’(xn)=;
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f"(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证: (Ⅰ)f(x)>0(x∈(0,1)); (Ⅱ) 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f’(xn)=;
admin
2020-12-10
49
问题
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f"(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
(Ⅰ)f(x)>0(x∈(0,1));
(Ⅱ)
自然数n,存在唯一的x
n
∈(0,1),使得f’(x
n
)=
;
(Ⅲ) 极限
,则f(x
0
)=M.
选项
答案
(Ⅰ) 由题设条件及罗尔定理,[*]a∈(0,1),f’(a)=0.由f"(x)<0(x∈(0,1))→f’(x)在(0,1)[*] [*] → f(x)>f(0)=0(0<x≤a), f(x)>f(1)=0(a≤x<1) → f(x)>0(x∈(0,1)). (Ⅱ) 由题设知存在x
M
∈(0,1)使得f(x
M
)=M>0. 要证[]在(0,1)存在零点.对n=1,2,3,…引入辅助函数 [*] →F
n
(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,要证F’(x)=f’(x)—[*]零点,只须在[0,1]中找两点,F
n
(x)的函数值相等,F
n
(0)=f(0)=0,再找F
n
(x)在(0,1)的一个零点。 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oX84777K
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考研数学二
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