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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫abf(x)dx=(b—a)[f(a)+f(b)]+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明 ∫abf(x)dx=(b—a)[f(a)+f(b)]+∫abf″(x)(x—a)(x—b)dx。
admin
2020-03-05
29
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,证明
∫
a
b
f(x)dx=
(b—a)[f(a)+f(b)]+
∫
a
b
f″(x)(x—a)(x—b)dx。
选项
答案
连续利用分部积分法有 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x—b)=f(a)(b—a)—∫
a
b
f′(x)(x—b)d(x—a) =f(a)(b—a)+∫
a
b
(x—a)d[f′(x)(x—b)] =f(a)(b—a)+∫
a
b
(x—a)df(x)+∫
a
b
f″(x)(x—a)(x—b)dx =f(a)(b—a)+f(b)(b—a)—∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f″(x)(x—a)(x—b)dx, 移项并整理得∫
a
b
f(x)dx=[*](b—a)[f(a)+f(b)]+[*]∫
a
b
f″(x)(x—a)(x—b)dx。
解析
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考研数学一
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