已知p=的一个特征向量。 (Ⅰ)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值； (Ⅱ)问A能不能相似对角化?并说明理由。

admin2019-02-26 41

问题已知p=

的一个特征向量。
(Ⅰ)求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；
(Ⅱ)问A能不能相似对角化?并说明理由。

选项

答案(Ⅰ)设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A-λE)p=0，即 [*] 从而有方程组[*]解得a=-3，b=0，且p所对应的特征值λ=-1。 (Ⅱ)A的特征多项式｜A-λE｜=[*]=-(λ+1)³，得A的特征值为λ=-1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=-1有三个线性无关的特征向量，而 [*] 故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。

解析

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