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设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f"(x)>0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明: f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f"(x)>0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki>0(i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1.证明: f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(
admin
2015-07-24
55
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f"(x)>0,取x
i
∈[a,b](i=1,2,…,n)及k
i
>0(i=1,2,…,n)且满足k
1
+k
2
+…+k
n
=1.证明:
f(k
1
x
1
+k
2
x
2
+…+k
n
x
n
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
).
选项
答案
令x
0
=k
1
x
1
+k
2
x
2
+…+k
n
x
n
,显然x
0
∈[a,b]. 因为f"(x)>0,所以f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x—x
0
), 分别取x=x
i
(i=1,2,…,n),得 [*] 由k
i
>O(i=1,2,…,n),上述各式分别乘以k
i
(i=1,2,…,n),得 [*] 将上述各式分别相加,得f(x
0
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
),即 f(k
1
x
1
+k
2
x
2
+…+k
n
x
n
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
).
解析
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0
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