(1)对于光滑曲面，若曲面上任一点处的切平面都平行于某个常向量，证明此曲面为柱面； (2)设a，b，c为任意常数，证明光滑曲面F(cy-bz，az-cx，bx-by)=0是一个柱面

admin2022-06-22 14

问题 (1)对于光滑曲面，若曲面上任一点处的切平面都平行于某个常向量，证明此曲面为柱面；
(2)设a，b，c为任意常数，证明光滑曲面F(cy-bz，az-cx，bx-by)=0是一个柱面

选项

答案(1)不妨设常向量方向为z轴的正方向，记k=(0，0，1)，曲面的方程写为G(x，y，z)=0，则曲面上任意一点处的法向量为n=(G′_x，G′_y，G′_z)。由于曲面上任一点处的切平面都平行于z轴，则有n·k=0。即G′_z=0，由此可知G(a，y，z)与z无关，从而有G(x，y，z)=F(x，y)，故曲面方程即为F(x，y)=0，此曲面是柱面，证毕。 (2)曲面F(cy-bz，az-cx，bx-ay)=0上任意一点处的法向量为 n=(bF′₃-cF′₂，cF′₁-aF′₃，aF′₂-bF′₁)，故n·(a，b，c)=a(bF′₃-cF′₂)+b(cF′₁-aF′₃)+c(aF′₂-bF′₁)=0，即n⊥(a，b，c)。由(1)，知此曲面是一个柱面。

解析

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考研数学一

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(1)对于光滑曲面，若曲面上任一点处的切平面都平行于某个常向量，证明此曲面为柱面； (2)设a，b，c为任意常数，证明光滑曲面F(cy-bz，az-cx，bx-by)=0是一个柱面

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