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设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)﹤n,证明:A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.
设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)﹤n,证明:A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.
admin
2020-06-05
70
问题
设n阶矩阵A,B满足R(A)+R(B)﹤n,证明:A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.
选项
答案
因为R(A)+R(B)﹤n,所以R(A)﹤n,R(B)﹤n,故|A|=0,|B|=0,由此可得0是A的特征值,0也是B的特征值,于是A与B有公共的特征值0. A与B的对应于特征值λ=0的特征向量分别是方程组Ax=0和Bx=0的非零解,于是A与B有对应于λ=0的公共特征向量的充分必要条件是方程组[*] 有非零解,即方程组[*]=0有非零解,而方程组[*] =0有非零解的充分必要条件是R[*] ﹤n,由此只需证明[*] ﹤n,即可得A与B有对应于λ=0的公共特征向量.由矩阵秩的性质,有 [*]=R(A
T
,B
T
)≤R(A
T
)+R(B
T
)=R(A)+R(B)﹤n 因此,A与B有公共的特征向量.
解析
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考研数学一
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