2. 考研
  3. 设n阶矩阵A，B满足R(A)＋R(B)﹤n，证明：A与B有公共的特征值，有公共的特征向量．

设n阶矩阵A，B满足R(A)＋R(B)﹤n，证明：A与B有公共的特征值，有公共的特征向量．

admin2020-06-05  51
问题 设n阶矩阵A，B满足R(A)＋R(B)﹤n，证明：A与B有公共的特征值，有公共的特征向量．
选项
答案因为R(A)+R(B)﹤n，所以R(A)﹤n，R(B)﹤n，故｜A｜＝0，｜B｜＝0，由此可得0是A的特征值，0也是B的特征值，于是A与B有公共的特征值0． A与B的对应于特征值λ＝0的特征向量分别是方程组Ax＝0和Bx＝0的非零解，于是A与B有对应于λ＝0的公共特征向量的充分必要条件是方程组[*] 有非零解，即方程组[*]＝0有非零解，而方程组[*] ＝0有非零解的充分必要条件是R[*] ﹤n，由此只需证明[*] ﹤n，即可得A与B有对应于λ＝0的公共特征向量．由矩阵秩的性质，有 [*]＝R(AT，BT)≤R(AT)＋R(BT)＝R(A)＋R(B)﹤n 因此，A与B有公共的特征向量．
解析
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考研数学一

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