首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: (Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=0; (Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ); (Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2014-11-26
48
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
证明:
(Ⅰ)存在c∈(0,1),使得f(c)=0;
(Ⅱ)存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)=f(ξ);
(Ⅲ)存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
(Ⅰ)由[*]得 f(0)=0,f
+
’(0)=1,f(1)=0,f
-
’(1)=2.由f
+
’(0)>0,存在x
1
∈(0,1),使得f(x
1
)>f(0)=0;由f
1
’(1)>0,存在x
2
∈(0,1),使得f(x
2
)<f(1)=0.因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以由零点定理,存在c∈(0,1),使得f(c)=0. (Ⅱ)令h(x)=e
x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,c),ξ
2
∈(c,1),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0,而h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)]且e
x
≠0,所以f(ξ
1
)+f’(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f’(ξ
2
)=0. 令φ(z)=e
-x
[f(x)+f’(x)],因为φ(ξ
1
)=φ(ξ
2
)=0,所以存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e
-x
[f"(x)-f(x)]且e
-x
≠0,于是f"(ξ)=f(ξ). (Ⅲ)令h(x=)e
x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0. 由罗尔定理,存在η
1
∈(0,c),η
2
∈(c,1),使得h’(η
1
)=h’(η
2
)=0,而 h’(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)一f(η
1
)=0,f’(η
2
)一f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一f(x)],因为φ(η
1
)=φ(η
2
)=0,所以存在η∈(η
1
,η
2
)[*](0,1),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0,于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oe54777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设证明当k>2时,Ak0的充分必要条件为A2=0.
设平面区域D={(x,y)|(x—2)2+(y—1)2≤1},比较的大小,则有().
设函数f(x,y)连续,则∫12dy∫1yf(x,y)dx+∫12dy∫y4—yf(x,y)dx=().
设f(x,y)为连续函数,f(0,0)已知,则=_______.其中D={(x,y)|x2+y2≤t2}.
已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且33=一2,则().
求微分方程y”一2y’一e2x=0满足条件y(0)一1,y’(0)=1的特解.
(1)设x>0,y>0,z>0,求函数f(x,y,z)=xyz3在约束条件x2+y2+z2=5R2(R>0为常数)下的最大值;(2)由(1)的结论证明:当a>0,b>0,c>0时,
箱内有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机的取出2个球,记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数.求随机变量(X,Y)的概率分布;
某保险公司设置某一险种,规定每一保单有效期为一年,有效理赔一次,每个保单收取保费500元,理赔额为40000元.据估计每个保单索赔概率为0.01,设公司共卖出这种保单8000个,求该公司在该险种上获得的平均利润.
随机试题
在《盛京刑部原档》中记载,清政权关外已经有了犯罪的初步分类,其规定应当判处死刑并不能援用赦免的罪是()。
EAI集成的深度上不包括
用避污纸垫着拿取物品或操作,保持________或用物________,以省略________。
病因于寒,素体阳虚,痰从寒化,属寒痰为患,则发为反复发作,正气耗伤或素体肺肾不足者,可表现为
依据《烟花爆竹安全管理条例》的规定,受理道路运输烟花爆竹申请的公安部门应当自受理之日起()日内对托运人提交的有关材料进行审查,对符合条件的,核发“烟花爆竹道路运输许可证”。
某施工单位在混凝土搅拌场处私设排污口,将生产过程中产生的废水直接排入水沟,经水沟进人稻田,形成了板结,使村里几十亩水稻受损严重。市环保局责令该施工单位限期改正,限期拆除私自设置的排污口,并对该施工单位处以()的罚款。
为了防范证券结算风险,我国设立了证券结算风险基金。下列各项所造成的登记结算机构的损失中可以用证券结算风险基金垫付或弥补,包括()。Ⅰ.违约交收Ⅱ.技术故障Ⅲ.操作失误Ⅳ.不可抗力
私募基金的合格投资者投资于单只私募基金的金额不低于()万元。
在软件需求工程中,需求管理贯穿整个过程。需求管理最基本的任务是明确需求,并使项目团队和用户达成共识,即建立______。
D分析句子结构可知,本句的主干是“Theimpressiveaspect...isitspervasivenessinhumanculture.”,句中的that______withit是that引导的定语从句,that指代these
最新回复
(
0
)