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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有连续的导数，且在(0，1)内g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有连续的导数，且在(0，1)内g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2017-05-31  48
问题 设f(x)在[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有连续的导数，且在(0，1)内g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=F(1)=0． 又0=∫01f(x)g(x)dx=∫01g(x)dF(x)=g(x)F(x)｜01－∫01F(x)g’(x)dx=－∫01F(x)g’(x)dx 即有∫01F(x)g’(x)dx=0，由积分中值定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)g’(ξ)=0，由g’(x)≠0知F(ξ)=0，0<ξ<1． 即F(0)=F(ξ)=F(1)=0， 由洛尔定理，存在点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．
解析 在f(x)连续的条件下，欲证f(x)存在两个零点f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，可构造辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt，用洛尔定理证明．因已知F(0)=F(1)=0．于是，问题的关键是再找一点ξ，使得F(ξ)=0，这样的点ξ可由已知条件得到．
在只知函数f(x)连续的条件下，证明f(x)在[a，b]内存在零点的问题，可以对f(x)用介值定理证明，也可对f(x)的原函数F(x)=∫axf(t)dt用洛尔定理证明．
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