设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

admin2014-07-06 54

问题设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件f(1)=

，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf^’(ξ)=0．

选项

答案由结论可知，若令φ(x)=xf(x)，则φ^’(x)=f(x)+xf^’(x)．因此，只需证明φ(x)在[0，1]内某一区间上满足罗尔定理的条件．令φ(x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在η∈(0，1/2)使 [*] 由已知条件[*] 并且φ(x)在[η，1]上连续，在(η，1)上可导，故由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)[*] (0，1)使得φ^’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf^’(ξ)=0．

解析

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