设A是一个n阶方阵，满足A2=A，R(A)=s且A有两个不同的特征值． (Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A； (Ⅱ)计算行列式｜A-2E｜．

admin2017-10-25 51

问题设A是一个n阶方阵，满足A²=A，R(A)=s且A有两个不同的特征值．
(Ⅰ)试证A可对角化，并求对角阵A；
(Ⅱ)计算行列式｜A-2E｜．

选项

答案因为A，B相似，所以｜A｜=｜B｜，且tr(A)=tr(B)，即 [*] =(λ-3)(λ+5)+16=λ²+2λ-15+16 =λ²+2λ+1=(λ+1)²．故A的两个特征值为-1，-1．但(-E-A)=[*] 因此R(-E-A)=1，所以不能对角化．设P=[*]，满足P^-1AP=B，即有AP=PB，从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为ξ₁=[*] 所以[*]，k₁，k₂为非零常数．令k₁=k₂=[*]，则有P^-1AP=B．

解析

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考研数学一

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