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设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=s且A有两个不同的特征值. (Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A; (Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=s且A有两个不同的特征值. (Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A; (Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
admin
2017-10-25
22
问题
设A是一个n阶方阵,满足A
2
=A,R(A)=s且A有两个不同的特征值.
(Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A;
(Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
选项
答案
因为A,B相似,所以|A|=|B|,且tr(A)=tr(B), 即 [*] =(λ-3)(λ+5)+16=λ
2
+2λ-15+16 =λ
2
+2λ+1=(λ+1)
2
. 故A的两个特征值为-1,-1. 但(-E-A)=[*] 因此R(-E-A)=1,所以不能对角化. 设P=[*],满足P
-1
AP=B,即有AP=PB,从而 [*] 整理得 [*] 解得基础解系为ξ
1
=[*] 所以[*],k
1
,k
2
为非零常数. 令k
1
=k
2
=[*],则有P
-1
AP=B.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/okr4777K
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考研数学一
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