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  3. 已知函数f(x，y)＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．

已知函数f(x，y)＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．

admin2019-08-27  27
问题 已知函数f(x，y)＝x＋y＋xy，曲线C：x2＋y2＋xy＝3，求f(x，y)在曲线C上的最大方向导数．
选项
答案由条件知[*]，于是梯度为 [*] 由梯度与方向导数[*]的关系，知 [*] 于是问题转化为求函数[*]在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值． 为计算方便可将问题转化为求函数T(x，y)＝H2(x，y)＝(1＋y)2＋(1＋x)2在条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令[*] 则[*] 解得[*] 于是得下列可疑点：A1(1，1)，A2(－1，－1)，A3(2，－1)，A4(－1，2)． 所求最大值为[*] 故f(x，y)在曲线C上的最大方向导数为3．
解析 【思路探索】先求函数f(x，y)在点(x，y)处的梯度gradf(x，y)，再求梯度的模｜gradf(x，y)｜；最后求gradf(x，y)在约束条件C：x2＋y2＋xy＝3下的最大值．
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考研数学一

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