设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是 ( )

admin2020-03-01  23

问题 设A是n阶矩阵,(E+A)x=0只有零解,则下列矩阵间乘法不能交换的是    (    )

选项 A、A—E;A+E
B、A—E;(A+E)-1
C、A—E;(A+E)*
D、A—E;(A+E)T

答案D

解析 由于(E+A)x=0只有零解,知r(E+A)=n,所以存在(E+A)-1且|E+A|≠0.
    方法一  因
                   (A+E)(A—E)=A2一E=(A—E)(A+E),    (*)
    故A+E,A—E可交换,故(A)成立.
    (*)式两端各左边、右边乘(A+E)-1,得
                   (A—E)(A+E)-1=(A+E)-1(A—E),    (**)
    故(A+E)-1,A—E可交换,故(B)成立.
    (**)式两边乘|A+E|(数),得
                   (A—E)(A+E)*=(A+E)*(A—E),
    故(A+E)*,A—E可交换,故(C)成立.
    由排除法知,应选(D),即(A+E)T,A~E不能交换.
    方法二    (A+E)(A—E)=(A+E)(A+E一2E)=(A+E)2一2(A+E)
                         =(A+E一2E)(A+E)=(A—E)(A+E).
      (A+E)-1(A—E)=(A+E)-1(A+E一2E)=(A+E)-1(A+E)一2(A+E)-1
               =(A+E)(A+E)-1一2(A+E)-1=(A+E一2E)(A+E)-1
               =(A—E)(A+E)-1
    同理     (A+E)*(A—E)=(A—E)(A+E)*
    故应选(D).
    方法三  (D)不成立,可举出反例,如取
            
  而
         
    故(A+E)T(A-E)≠(A-E)(A+E)T,即(D)不成立.
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