[2015年] 设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0，x=所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成的旋转体的体积．若V1=V2，求A的值．

admin2019-04-05 53

问题 [2015年] 设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤

)及直线y=0，x=

所围成的平面区域，V₁，V₂分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成的旋转体的体积．若V₁=V₂，求A的值．

选项

答案同一曲边梯形分别绕x轴、y轴旋转，所得的旋转体体积V_x，V_y可分别按式(1．3．5．4)及式(1．3．5．6)计算，由V_x，V_y易求得A的值．由式(1．3．5．4)及式(1．3．5．6)分别得到 V_x=∫₀^π/2πy²dx=∫₀^π/2πA²sin²xdx=Aπ∫₀^π/2sin²xdx=A²π．[*] V_y=∫₀^π/22πxy dx=2πA∫₀^π/2xsinx dx=2Aπ∫₀^π/2xd(－cosx) =2πA[－xcosx∫₀^π/2+∫₀^π/2cosx dx]=(∫₀^π/2dsinx)2πA．由V_x=U_y得[*]=2πA，即A=[*]．

解析

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考研数学二

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[2015年] 设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0，x=所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成的旋转体的体积．若V1=V2，求A的值．

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