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设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。
admin
2021-01-31
106
问题
设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫
0
1
f(x)dx=f(0)+f(1)+
。
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x),由泰勒公式得 [*] 上下两式相减得F(1)-F(0)=(1/2)[f(0)+f(1)]十(1/48)[f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)], 即∫
0
1
f(x)dx=(1/2)[f(0)+f(1)]+(1/48)[f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)], 因为f"(x)∈C[ξ
1
,ξ
2
],所以f"(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到最大值M和最小值m, 于是2m≤f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)≤2M或m≤[f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)]/2≤M
1
, 由介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
]∈(0,1),使得f"(ξ)=[f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)]/2, 故有2∫
0
1
f(x)dx=f(0)+f(1)+(1/12)f"(ξ)。
解析
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0
考研数学三
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