2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。

设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。

admin2021-01-31  70
问题 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)。证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得 [*] 上下两式相减得F(1)-F(0)=(1/2)[f(0)+f(1)]十(1/48)[f"(ξ1)+f"(ξ2)]， 即∫01f(x)dx=(1/2)[f(0)+f(1)]+(1/48)[f"(ξ1)+f"(ξ2)]， 因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m， 于是2m≤f"(ξ1)+f"(ξ2)≤2M或m≤[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/2≤M1， 由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]∈(0，1)，使得f"(ξ)=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/2， 故有2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+(1/12)f"(ξ)。
解析
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考研数学三

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