设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+。

admin2021-01-31  51

问题 设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f’(0)=f’(1)。证明:存在ξ∈(0,1),使得2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,则F(x)三阶连续可导且F’(x)=f(x),由泰勒公式得 [*] 上下两式相减得F(1)-F(0)=(1/2)[f(0)+f(1)]十(1/48)[f"(ξ1)+f"(ξ2)], 即∫01f(x)dx=(1/2)[f(0)+f(1)]+(1/48)[f"(ξ1)+f"(ξ2)], 因为f"(x)∈C[ξ1,ξ2],所以f"(x)在[ξ1,ξ2]上取到最大值M和最小值m, 于是2m≤f"(ξ1)+f"(ξ2)≤2M或m≤[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/2≤M1, 由介值定理,存在ξ∈[ξ1,ξ2]∈(0,1),使得f"(ξ)=[f"(ξ1)+f"(ξ2)]/2, 故有2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+(1/12)f"(ξ)。

解析
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