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已知 二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。
已知 二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。
admin
2019-07-23
25
问题
已知
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)A
T
A=[*] 由r(A
T
A)=2,可得 [*]=(a+1)
2
(a
2
+3)=0 可知a=-1。 (Ⅱ)二次型f的矩阵B=A
T
A= [*] 则 |λE-B|=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0, 解得B矩阵的特征值为λ
1
=0;λ
2
=2;λ
3
=6。 对于λ
1
=0,解(λ
1
E—B)x=0得对应的特征向量为η
1
=(1,1,一1)
T
; 对于λ
2
=2,解(λ
2
E—B)x=0得对应的特征向量为η
2
=(1,一1,0)
T
; 对于λ
3
=6,解(λ
3
E—B)x=0得对应的特征向量为η
3
=(1,l,2)
T
。 将η
1
,η
2
,η
3
单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y
2
2
+6y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/p5c4777K
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考研数学一
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