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  3. 已知 二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

已知 二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

admin2019-07-23  48
问题 已知

二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。
选项
答案(Ⅰ)ATA=[*] 由r(ATA)=2，可得 [*]=(a+1) 2 (a2+3)=0 可知a=－1。 (Ⅱ)二次型f的矩阵B=ATA= [*] 则 ｜λE－B｜=[*]=λ(λ－2)(λ－6)=0， 解得B矩阵的特征值为λ1=0；λ2=2；λ3=6。 对于λ1=0，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=(1，1，一1)T； 对于λ2=2，解(λ2E—B)x=0得对应的特征向量为η2=(1，一1，0)T； 对于λ3=6，解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=(1，l，2)T。 将η1 ，η2 ，η3单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y22+6y32。
解析
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考研数学一

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