已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

admin2019-07-23 64

问题已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)A^TA=[*] 由r(A^TA)=2，可得 [*]=(a+1) ² (a²+3)=0 可知a=－1。 (Ⅱ)二次型f的矩阵B=A^TA= [*] 则｜λE－B｜=[*]=λ(λ－2)(λ－6)=0，解得B矩阵的特征值为λ₁=0；λ₂=2；λ₃=6。对于λ₁=0，解(λ₁E—B)x=0得对应的特征向量为η₁=(1，1，一1)^T；对于λ₂=2，解(λ₂E—B)x=0得对应的特征向量为η₂=(1，一1，0)^T；对于λ₃=6，解(λ₃E—B)x=0得对应的特征向量为η₃=(1，l，2)^T。将η₁ ，η₂ ，η₃单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y₂²+6y₃²。

解析

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考研数学一

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证明：

已知A是3阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝O，且秩r(A)＝2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A＋E)．

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求幂级数的和函数S(x)及其极值．

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