已知 二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。

admin2019-07-23  23

问题 已知

二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,将f化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)ATA=[*] 由r(ATA)=2,可得 [*]=(a+1) 2 (a2+3)=0 可知a=-1。 (Ⅱ)二次型f的矩阵B=ATA= [*] 则 |λE-B|=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0, 解得B矩阵的特征值为λ1=0;λ2=2;λ3=6。 对于λ1=0,解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=(1,1,一1)T; 对于λ2=2,解(λ2E—B)x=0得对应的特征向量为η2=(1,一1,0)T; 对于λ3=6,解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=(1,l,2)T。 将η1 ,η2 ,η3单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y22+6y32

解析
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