2. 考研
  3. 已知A是3阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝O，且秩r(A)＝2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A＋E)．

已知A是3阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝O，且秩r(A)＝2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A＋E)．

admin2018-11-22  55
问题 已知A是3阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝O，且秩r(A)＝2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A＋E)．
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，Aα＝λα(α≠0)，于是Anα＝λnα． 那么用α右乘A4＋2A3＋A2＋2A＝0，得(λ4＋2λ3＋λ2＋2λ)α＝0． 因为特征向量α≠0，故λ4＋2λ3＋λ2＋2λ＝λ(λ3＋2λ2＋λ＋2)＝λ(λ＋2)(λ2＋1)＝0．由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或－2． 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)＝r(A)＝2，所以A的特征值是0，－2，－2． 因A～∧，则有A＋E～∧＋E＝[*]，所以r(A＋E)＝r(∧＋E)＝3．
解析
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考研数学一

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