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  3. [2003年] 设向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，－1，a+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?

[2003年] 设向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，－1，a+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?

admin2019-04-28  109
问题 [2003年]  设向量组(I)：α1=[1，0，2]T，α2=[1，1，3]T，α3=[1，－1，a+2]T和向量组(Ⅱ)：β1=[1，2，a+3]T，β2=[2，1，a+6]T，β3=[2，1，a+4]T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案解一 因[*] 故方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)均有唯一解，因而对任意a，向量组(I)可用向量组(Ⅱ)线性表出．但 [*] 当a+1≠0即a≠－1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)有唯一解．因而β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表出，于是得到当a≠－1时向量组(I)和向量组(Ⅱ)等价．但当a=－1时，有 [*] 秩([α1，α2，α3])=2≠秩([α1，α2，α3])+1=秩([α1，α2，α3，β1])=3，故β1不能用α1，α2，α3线性表出．因而向量组(I)和向量组(Ⅱ)不等价． 解二 以α1，α2，α3，β1，β2，β3为列向量构造矩阵A，用初等行变换将其化为行阶梯形矩阵： [*] (1)当a+1=0即a=－1时，[*]显然β1与β3不能由 α1，α2，α3线性表示，故α1，α2，α3与β1，β2，β3不等价． (2)当a+1≠0时，有 [*] 因而β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示，且 β1=[(1－2a)／(a+1)]α1+[(3a+1)I(a+1)]α2+[(a－1)／(a+1)]α3， β2=(－1)α1+2α2+aα3， β3=[(3－2a)／(a+1)]α1+[2a／(a+1)]α2+[(a－1)／(a+1)]α3． 以β1，β2，β3，α1，α2，α3为列向量构造矩阵B，用初等行变换将其化为行最简形矩阵，得到 [*] 可见 α1=(－1／3)β1+[(1－a)／6]β2+[(3+a)／6]β3， α2=(1／3)β1+[(1－a)／3]β2+(a／3)β3， α3=(－1)β1+[(1+a)／2]β2+[(1－a)／2]β3， 因而对任意a，向量组(I)可用向量组(Ⅱ)线性表示．于是当a≠－1时，这两组向量可互相线性表示，即 [α1，α2，α3]≌[β1，β2，β3]．
解析
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考研数学三

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