设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,求:(1)A2;(2)矩阵A的特征值和特征向量.

admin2019-07-19  16

问题 设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTβ=0.记n阶矩阵A=αβT,求:(1)A2;(2)矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案(1)由于βTα=αTβ=0,故A2=αβTαβT=α(βTα)βT=α(0)βT=0.(2)因A2=O,故A的特征值全为零.因α≠0,α≠0,不妨设a1≠0,b2≠0,则由 [*] 因A的特征向量只属于特征值0,故A的全部特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn—1ξn—1,其中k1,k2,…,kn—1为不全为零的任意常数.

解析
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