设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT，求：(1)A2；(2)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2019-07-19 32

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T，求：(1)A²；(2)矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案(1)由于β^Tα=α^Tβ=0，故A²=αβ^Tαβ^T=α(β^Tα)β^T=α(0)β^T=0．(2)因A²=O，故A的特征值全为零．因α≠0，α≠0，不妨设a₁≠0，b₂≠0，则由 [*] 因A的特征向量只属于特征值0，故A的全部特征向量为k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n—1ξ_n—1，其中k₁，k₂，…，k_n—1为不全为零的任意常数．

解析

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