微分方程y"－4y’+8y=e2x(1+cos2x)的特解可设为y*=( )

admin2018-04-14 77

问题微分方程y"－4y’+8y=e^2x(1+cos2x)的特解可设为y^*=( )

选项 A、Ae^2x+e^2x(Bcos2x+Csin2x)。
B、Axe^2x+e^2x(Bcos2x+Csin2x)。
C、Ae^2x+xe^2x(Bcos2x+Csin2x)。
D、Axe^2x+xe^2x(Bcos2x+Csin2x)。

答案C

解析原微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为λ²－4λ+8=0，特征根为λ=2±2i，将非齐次微分方程拆分为
y"－4y’+8y=e^2x…(1)与y"－4y’+8y=e^2xcos2x…(2)。
方程(1)的特解可设为y₁^*=Ae^2x，方程(2)的特解可设为y₂^*=xe^2x(Bcos2x+Csin2x)，由解的叠加原理可知原方程的特解可设为y^*=Ae^2x+xe^2x(Bcos2x+Csin2x)，故选C。

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