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已知向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs线性无关,(Ⅱ):β1,β2,…,βt线性无关,且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出,(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出,则向量组( )
已知向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs线性无关,(Ⅱ):β1,β2,…,βt线性无关,且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出,(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出,则向量组( )
admin
2018-11-22
67
问题
已知向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关,且(Ⅰ)中任一向量α
i
(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出,(Ⅱ)中任一向量β
j
(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出,则向量组( )
选项
A、α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
必线性相关.
B、α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
必线性无关.
C、α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
必线性相关.
D、α
1
,α
2
,…,α
s
,β
t
必线性无关.
答案
D
解析
假设α
1
,α
2
,…,α
s
,β
t
线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,…,k
s
,k
s+1
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+α
s+1
β
t
=0,
其中是k
s+1
=0(若k
≠0,则β
t
=
(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)与(Ⅱ)中任一向量不能由(Ⅰ)线性表示矛盾).
因α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,从而得k
i
=0,i=1,2,…,s.这和假设矛盾,故α
1
,α
2
,…,α
s
,β
t
线性无关,即D正确.
同理可知α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关,故C错误.
向量组α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
可能线性相关,也可能线性无关,例:(Ⅰ)α
1
=(1,0,0),α
2
=(1,1,0)线性无关,(Ⅱ)β
1
=(0,0,1),β
2
=(0,1,1)线性无关,且α
2
,α
2
均不能由β
1
,β
2
线性表出,β
1
,β
2
均不能由α
1
,α
2
线性表出,但α
1
,α
2
,β
1
,β
2
是四个三维向量,必线性相关,故B不能成立.
再比如(Ⅰ)α
1
=(1,0)线性无关,(Ⅱ)β
1
=(0,1)线性无关,且不能互相表出,但{α
1
,β
1
}是线性无关的,故A也不成立.
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