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已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )
已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )
admin
2018-11-22
30
问题
已知向量组(Ⅰ)：α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，(Ⅱ)：β
1
，β
2
，…，β
t
线性无关，且(Ⅰ)中任一向量α
i
(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量β
j
(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )
选项
A、α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
必线性相关．
B、α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
必线性无关．
C、α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
必线性相关．
D、α
1
，α
2
，…，α
s
，β
t
必线性无关．
答案
D
解析
假设α
1
，α
2
，…，α
s
，β
t
线性相关，则存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
s
，k
s+1
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+α
s+1
β
t
=0，
其中是k
s+1
=0(若k
≠0，则β
t
=
(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)与(Ⅱ)中任一向量不能由(Ⅰ)线性表示矛盾)．
因α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，从而得k
i
=0，i=1，2，…，s．这和假设矛盾，故α
1
，α
2
，…，α
s
，β
t
线性无关，即D正确．
同理可知α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
线性无关，故C错误．
向量组α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
可能线性相关，也可能线性无关，例：(Ⅰ)α
1
=(1，0，0)，α
2
=(1，1，0)线性无关，(Ⅱ)β
1
=(0，0，1)，β
2
=(0，1，1)线性无关，且α
2
，α
2
均不能由β
1
，β
2
线性表出，β
1
，β
2
均不能由α
1
，α
2
线性表出，但α
1
，α
2
，β
1
，β
2
是四个三维向量，必线性相关，故B不能成立．
再比如(Ⅰ)α
1
=(1，0)线性无关，(Ⅱ)β
1
=(0，1)线性无关，且不能互相表出，但{α
1
，β
1
}是线性无关的，故A也不成立．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pIM4777K
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考研数学一
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