2. 考研
  3. 已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )

已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组( )

admin2018-11-22  23
问题 已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs线性无关，(Ⅱ)：β1，β2，…，βt线性无关，且(Ⅰ)中任一向量αi(1≤i≤s)不能由(Ⅱ)线性表出，(Ⅱ)中任一向量βj(1≤j≤t)不能由(Ⅰ)线性表出，则向量组(    )
选项 A、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt必线性相关．
B、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt必线性无关．
C、αs，β1，β2，…，βt必线性相关．
D、α1，α2，…，αs，βt必线性无关．
答案D
解析 假设α1，α2，…，αs，βt线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，…，ks，ks+1使得
    k1α1+k2α2+…+ksαs+αs+1βt=0，
其中是ks+1=0(若k≠0，则βt=(k1α1+k2α2+…+ksαs)与(Ⅱ)中任一向量不能由(Ⅰ)线性表示矛盾)．
    因α1，α2，…，αs线性无关，从而得ki=0，i=1，2，…，s．这和假设矛盾，故α1，α2，…，αs，βt线性无关，即D正确．
    同理可知αs，β1，β2，…，βt线性无关，故C错误．
    向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt可能线性相关，也可能线性无关，例：(Ⅰ)α1=(1，0，0)，α2=(1，1，0)线性无关，(Ⅱ)β1=(0，0，1)，β2=(0，1，1)线性无关，且α2，α2均不能由β1，β2线性表出，β1，β2均不能由α1，α2线性表出，但α1，α2，β1，β2是四个三维向量，必线性相关，故B不能成立．
    再比如(Ⅰ)α1=(1，0)线性无关，(Ⅱ)β1=(0，1)线性无关，且不能互相表出，但{α1，β1}是线性无关的，故A也不成立．
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