设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则 ①若A可逆,则B可逆; ②若B可逆,则A+B可逆; ③若A+B可逆,则AB可逆; ④A一E恒可逆。 上述命题中,正确的个数为( )

admin2020-03-24  30

问题 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,则
①若A可逆,则B可逆;
②若B可逆,则A+B可逆;
③若A+B可逆,则AB可逆;
④A一E恒可逆。
上述命题中,正确的个数为(     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 由AB=A+B,有(A—E)B=A。若A可逆,则
|(A—E)B|=|A—E|×|B|=|A|≠0,
所以|B|≠0,即矩阵B可逆,从而命题①正确。
同命题①类似,由B可逆可得出A可逆,从而AB可逆,那么A+B=AB也可逆,故命题②正确。
因为AB=A+B,若A+B可逆,则有AB可逆,即命题③正确。
对于命题④,用分组因式分解,即
AB—A—B+E=E,则有(A—E)(B一E)=E,
所以得A—E恒可逆,命题④正确。
所以应选D。
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