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设随机变量(X,Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?
设随机变量(X,Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?
admin
2018-07-30
22
问题
设随机变量(X,Y)的概率密度为
问X与Y是否独立?|X|与|Y|是否独立?
选项
答案
关于X的边缘密度为f
X
(χ)=∫
-∞
+∞
f(χ,y)dy. 若|χ|≥1,则f
X
(χ)=0;若|χ|<1,则f
X
(χ)=[*] 关于Y的边缘密度为f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
f(χ,y)dχ 若|y|≥1,则f
Y
(y)=0;若|y|<1,则f
Y
(y)=[*] [*] 即X与Y不独立. 而(|X|,|Y|)的分布函数为F(χ,y)=P{|X|≤χ,|y|≤y} 当χ≤0或y≤0时,F(χ,y)=0; 当χ≥0,y≥0时,F(χ,y)=P{-χ≤X≤χ,-y≤Y≤y}=∫
-χ
χ
du∫
-y
y
f(u,v)dv. 当χ>1,y>1时,F(χ,y)=∫
-1
1
du∫
-1
1
[*]dv=1: 当0<χ≤1,y≥1时,F(χ,y)=∫
-χ
χ
du∫
-χ
χ
[*]dv=χ; 当χ≥1,0<y≤1时,F(χ,y)=∫
-1
1
du∫
-y
y
[*]dv=y; 当0<χ<1,0<y<1时,F(χ,y)=∫
-χ
χ
du∫
-y
y
[*]dv=χy.故 [*] 于是,关于|X|的(边缘)分布函数为: [*] 而关于|y|的(边缘)分布函数为: [*] 可见F
|X|
(χ).=F
|y|
(y)=F(χ,y) [*](χ,y)∈R
2
,即|X|与|Y|相互独立.
解析
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考研数学三
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