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  3. 设随机变量(X，Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?

设随机变量(X，Y)的概率密度为 问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?

admin2018-07-30  50
问题 设随机变量(X，Y)的概率密度为

    问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?
选项
答案关于X的边缘密度为fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy． 若｜χ｜≥1，则fX(χ)＝0；若｜χ｜＜1，则fX(χ)＝[*] 关于Y的边缘密度为fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ 若｜y｜≥1，则fY(y)＝0；若｜y｜＜1，则fY(y)＝[*] [*] 即X与Y不独立． 而(｜X｜，｜Y｜)的分布函数为F(χ，y)＝P{｜X｜≤χ，｜y｜≤y} 当χ≤0或y≤0时，F(χ，y)＝0； 当χ≥0，y≥0时，F(χ，y)＝P{－χ≤X≤χ，－y≤Y≤y}＝∫－χχdu∫－yyf(u，v)dv． 当χ＞1，y＞1时，F(χ，y)＝∫－11du∫－11[*]dv＝1： 当0＜χ≤1，y≥1时，F(χ，y)＝∫－χχdu∫－χχ[*]dv＝χ； 当χ≥1，0＜y≤1时，F(χ，y)＝∫－11du∫－yy[*]dv＝y； 当0＜χ＜1，0＜y＜1时，F(χ，y)＝∫－χχdu∫－yy[*]dv＝χy．故 [*] 于是，关于｜X｜的(边缘)分布函数为： [*] 而关于｜y｜的(边缘)分布函数为： [*] 可见F｜X｜(χ).＝F｜y｜(y)＝F(χ，y) [*](χ，y)∈R2，即｜X｜与｜Y｜相互独立．
解析
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考研数学三

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