设f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在点ξ,η∈(a,b),使得

admin2018-05-25  21

问题 设f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在点ξ,η∈(a,b),使得
   

选项

答案作辅助函数F(x)=xnf(x),则F’(x)=nxn—1f(x)+xnf’(x),且F(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(a,b),使得 [*]=nξn—1f(ξ)+ξnf’(ξ)。 另作辅助函数G(x)=xn,同理在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,则存在一点η∈(a,b),使得 [*]=nηn—1。 由以上两式,可得nηn—1=nξn—1f(ξ)+ξnf’(ξ),即 [*]

解析
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