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设f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在点ξ,η∈(a,b),使得
设f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在点ξ,η∈(a,b),使得
admin
2018-05-25
26
问题
设f(x)在[a,b](a>0)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在点ξ,η∈(a,b),使得
选项
答案
作辅助函数F(x)=x
n
f(x),则F’(x)=nx
n—1
f(x)+x
n
f’(x),且F(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ∈(a,b),使得 [*]=nξ
n—1
f(ξ)+ξ
n
f’(ξ)。 另作辅助函数G(x)=x
n
,同理在[a,b]上应用拉格朗日中值定理,则存在一点η∈(a,b),使得 [*]=nη
n—1
。 由以上两式,可得nη
n—1
=nξ
n—1
f(ξ)+ξ
n
f’(ξ),即 [*]
解析
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考研数学一
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