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  3. 下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数

下述命题 ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数

admin2016-04-14  25
问题 下述命题
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(一∞，+∞)上连续；
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(一∞，+∞)上有界；
③设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的连续函数；
④设f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(一∞，+∞)上也是正值的有界函数．
其中正确的个数为(     )
选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．
答案B
解析 ①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：
①是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(一∞，+∞)上连续．论证的关键之处是：函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．
③是正确的．设x0∈(一∞，+∞)，则f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算法则知，在x0处也连续，所以且在(一∞，+∞)上连续．②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间这个界与[a，b]有关，容易看出，在区间(一∞，+∞)上f(x)=x就无界了．
④是不正确的．反例：f(x)=ex2，在区间(一∞，+∞)上0＜f(x)≤1，所以f(x)在(一∞，+∞)上为正值的有界函数，而在(一∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，故应选(B)．
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考研数学一

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