设f(x)在[0，+∞]连续，且证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

admin2016-01-15 57

问题设f(x)在[0，+∞]连续，且

证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

选项

答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫₀¹F(x)dx=∫₀¹[f(x)+x]dx=∫₀¹f(x)dx+[*]＜0．所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫₀¹F(x)dx=(1—0)F(a)＜0，即F(a)＜0．又 [*] 因此，由零点定理，至少存在一个ξ∈(a，b)[*](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0．

解析

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