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  3. 设f(x)在[0，+∞]连续，且 证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

设f(x)在[0，+∞]连续，且 证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

admin2016-01-15  29
问题 设f(x)在[0，+∞]连续，且

证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．
选项
答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+[*]＜0． 所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫01F(x)dx=(1—0)F(a)＜0， 即F(a)＜0． 又 [*] 因此，由零点定理，至少存在一个ξ∈(a，b)[*](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0．
解析
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考研数学一

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