设f(x)在区间[0,1]上连续,证明:∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2.

admin2021-11-09  28

问题 设f(x)在区间[0,1]上连续,证明:∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2

选项

答案先将累次积分表示成二重积分,则有 I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[*]f(x)f(y)dxdy, 其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤1},如图8.28,它与D’={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x}关于y=x对称.于是 I=[*]f(x)f(y)dxdy, 2I=[*]=∫01dx∫01f(x)f(y)dy =∫01f(x)dx∫01f(y)dy=[∫01f(x)dx]2, 因此,I=[*][∫01f(x)dx]2. [*]

解析
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