2. 考研
  3. 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． (1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导

设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． (1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导

admin2016-01-15  78
问题 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．
    (1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式．
    (2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．
选项
答案(1)由梯度向量的性质：函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向 [*] (2)求g(x，y)在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点，即g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在条件x2+y2一xy一75=0下的最大值点． 这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法．构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)， 则有 [*] 解此方程组得x=一y或λ=一2． 若y=一x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5． 若λ=一2，由(1)或(2)均得y=x，代入(3)式得x2=75，即x=±[*]． 于是得可能的条件极值点 M1(5，一5)，M2(一5，5)，M3[*]． 现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy在这些点的函数值，有 f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150． 因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到．因此g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点．
解析
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考研数学一

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