设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z)．

admin2017-10-19 41

问题设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为

求随机变量Z=2X+Y的概率密度F_Z(z)．

选项

答案本题可以按以下公式先算出Z的分布函数F_Z(z)： F_Z(z)=[*]f_X(x)f_Y(y)dxdy(其中D_z=｛(x，y)｜2x+y≤z｝)，然后对F_Z(z)求导算出f_Z(z)，但较麻烦．记U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 [*] 于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f_Z(z)=∫_－∞^＋∞f_U(u)f_Y(z－u)du．由于f_U(u)f_Y(z－u)=[*] 即f_U(u)f_Y(z－u)仅在D_z=｛(u，z)｜0＜u＜2，z－u＞0｝(如图3-9的阴影部分)上取值[*]，在uOz平面的其他部分都取值为0，所以当z＜0时，∫_－∞^＋∞f_U(u)f_Y(z－u)du=∫_－∞^＋∞0du=0；当0≤z＜2时，∫_－∞^＋∞f_U(u)f_Y(z－u)du=[*] 当z≥2时，∫_－∞^＋∞f_U(u)f_Y(z－u)du=[*] 由此得到[*] [*]

解析

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考研数学三

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