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设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z).
设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z).
admin
2017-10-19
62
问题
设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为
求随机变量Z=2X+Y的概率密度F
Z
(z).
选项
答案
本题可以按以下公式先算出Z的分布函数F
Z
(z): F
Z
(z)=[*]f
X
(x)f
Y
(y)dxdy(其中D
z
={(x,y)|2x+y≤z}), 然后对F
Z
(z)求导算出f
Z
(z),但较麻烦. 记U=2X,则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 [*] 于是,Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du. 由于f
U
(u)f
Y
(z-u)=[*] 即f
U
(u)f
Y
(z-u)仅在D
z
={(u,z)|0<u<2,z-u>0}(如图3-9的阴影部分)上取值[*],在uOz平面的其他部分都取值为0,所以 当z<0时,∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=∫
-∞
+∞
0du=0; 当0≤z<2时,∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=[*] 当z≥2时,∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=[*] 由此得到[*] [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/paH4777K
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考研数学三
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