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  3. 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z)．

设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为 求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z)．

admin2017-10-19  79
问题 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为

求随机变量Z=2X+Y的概率密度FZ(z)．
选项
答案本题可以按以下公式先算出Z的分布函数FZ(z)： FZ(z)=[*]fX(x)fY(y)dxdy(其中Dz=｛(x，y)｜2x+y≤z｝)， 然后对FZ(z)求导算出fZ(z)，但较麻烦． 记U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 [*] 于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 fZ(z)=∫－∞＋∞fU(u)fY(z－u)du． 由于fU(u)fY(z－u)=[*] 即fU(u)fY(z－u)仅在Dz=｛(u，z)｜0＜u＜2，z－u＞0｝(如图3-9的阴影部分)上取值[*]，在uOz平面的其他部分都取值为0，所以 当z＜0时，∫－∞＋∞fU(u)fY(z－u)du=∫－∞＋∞0du=0； 当0≤z＜2时，∫－∞＋∞fU(u)fY(z－u)du=[*] 当z≥2时，∫－∞＋∞fU(u)fY(z－u)du=[*] 由此得到[*] [*]
解析
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考研数学三

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