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设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。
设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。
admin
2015-09-14
38
问题
设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。
选项
答案
设B、X按列分块分别为B=[b
1
b
2
…b
p
]。X=[x
1
x
2
…x
p
]，则AX=B，[*][Ax
1
Ax
2
…Ax
p
]=[b
1
b
2
…b
p
][*]Ax
j
=b
j
(j=1，2，…，p)，故AX=B有解[*]Ax
j
=b
j
(j=1，2，…，p)有解，故由非齐次线性方程组Ax
j
=b
j
有解的充要条件可知，AX=B有解[*]r(A)=r(A|b
j
)(j=1，2，…，p)[*]r(A)=r[Ab
1
b
2
…b
p
]=r[A|B]。
解析
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考研数学三
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