过点P(1,0)作曲线的切线,求: (Ⅰ)该切线与曲线及x轴围成的平面图形的面积; (Ⅱ)该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积; (Ⅲ)该平面图形绕直线y=-1旋转一周所成旋转体体积.

admin2017-10-25  30

问题 过点P(1,0)作曲线的切线,求:
(Ⅰ)该切线与曲线及x轴围成的平面图形的面积;
(Ⅱ)该平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体体积;
(Ⅲ)该平面图形绕直线y=-1旋转一周所成旋转体体积.

选项

答案(Ⅰ)设切点坐标为(x0,y0),y0=[*],则切线方程为 [*] 由题意要求其过点(1,0),解得x0=3,y0=1,所求切线方程化简为 y=[*](x-1). 为求面积,若分割x轴上区间[1,3],则由于上、下曲线的情况不同,必须分成[1,2]、[2,3]分别计算, 可得 [*] 若分割y轴上区间[0,1],则右曲线为x=y2+2,左曲线为x=3+2(y-1),从而得 S=∫01{(y2+2)-[3+2(y-1)]}dy=[*] (Ⅱ)如图3-2所示,所求旋转体体积,即为由三角形ACD绕x轴旋转所成的圆锥体体积,减去抛物曲线[*]和线[*]围成的图形绕x轴旋转所成旋转体体积V0.在求全旋转体体积V0时,将区间[2,3]划分成n等份,每个小分割近似看成矩形,则其旋转后近似为圆柱体,其体积为因此V0体积为 [*](xi-2)△xi=∫33π(x-2)dx. 因此,所求体积为 [*] (Ⅲ)如图3-3所示,所求体积可看成由三角形abc绕y=-1旋转所成的体积V1,加上曲边图形bcd绕y=-1旋转所成的体积V2.求旋转体的体积V1时,分割区间[1,2],每个小分割近似看成矩形,绕y=-1旋转所成旋转体近似为圆环柱体,其体积为 [*] 所求体积为V1+V2 [*]

解析 本题图形如图3-1所示,切线、曲线、x轴围成一平面图形;还可看出必须先求出曲线上的切点坐标,然后用分割、近似、取和、求极限的步骤表达出该图形的面积.
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