2. 考研
  3. 设α是n维非零列向量，矩阵A=E一ααT．证明： (1)A2=A的充要条件是αTα=1； (2)当αTα=1时，A不可逆．

设α是n维非零列向量，矩阵A=E一ααT．证明： (1)A2=A的充要条件是αTα=1； (2)当αTα=1时，A不可逆．

admin2017-04-23  48
问题 设α是n维非零列向量，矩阵A=E一ααT．证明：
(1)A2=A的充要条件是αTα=1；
(2)当αTα=1时，A不可逆．
选项
答案(1)A2=A[*](E=ααT)(E一ααT)=E一ααT[*]E一2ααT+α(αTα)αT=E一ααT[*](αTα一1)ααT=0(注意ααT≠0)[*]αTα=1． (2)当αTα=1时，A2=A，若A可逆，用A一1左乘A2=A两端，得A=E，代入A的定义式，得ααT=0，这与ααT≠0矛盾．
解析
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考研数学二

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