设α是n维非零列向量，矩阵A=E一ααT．证明： (1)A2=A的充要条件是αTα=1； (2)当αTα=1时，A不可逆．

admin2017-04-23 39

问题设α是n维非零列向量，矩阵A=E一αα^T．证明：
(1)A²=A的充要条件是α^Tα=1；
(2)当α^Tα=1时，A不可逆．

选项

答案(1)A²=A[*](E=αα^T)(E一αα^T)=E一αα^T[*]E一2αα^T+α(α^Tα)α^T=E一αα^T[*](α^Tα一1)αα^T=0(注意αα^T≠0)[*]α^Tα=1． (2)当α^Tα=1时，A²=A，若A可逆，用A^一1左乘A²=A两端，得A=E，代入A的定义式，得αα^T=0，这与αα^T≠0矛盾．

解析

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考研数学二

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