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设α是n维非零列向量,矩阵A=E一ααT.证明: (1)A2=A的充要条件是αTα=1; (2)当αTα=1时,A不可逆.
设α是n维非零列向量,矩阵A=E一ααT.证明: (1)A2=A的充要条件是αTα=1; (2)当αTα=1时,A不可逆.
admin
2017-04-23
29
问题
设α是n维非零列向量,矩阵A=E一αα
T
.证明:
(1)A
2
=A的充要条件是α
T
α=1;
(2)当α
T
α=1时,A不可逆.
选项
答案
(1)A
2
=A[*](E=αα
T
)(E一αα
T
)=E一αα
T
[*]E一2αα
T
+α(α
T
α)α
T
=E一αα
T
[*](α
T
α一1)αα
T
=0(注意αα
T
≠0)[*]α
T
α=1. (2)当α
T
α=1时,A
2
=A,若A可逆,用A
一1
左乘A
2
=A两端,得A=E,代入A的定义式,得αα
T
=0,这与αα
T
≠0矛盾.
解析
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考研数学二
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