2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．

设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．

admin2018-06-27  59
问题 设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)-g(x)=o((x-x0)2)(x→x0)．
选项
答案相交与相切即f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)．若又有曲率相同，即 [*] 亦即｜f’’(x0)｜=｜g’’(x0)｜． 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f’’(x0)=g’’(x0)=0或f’’(x0)与g’’(x0)同号，于是f’’(x0)=g’’(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率 [*]f(x0)-g(x0)=0，f’(x0)-g’(x0)=0，f’’(x0)-g’’(x0)=0． [*]f(x)-g(x)=f(x0)-g(x0)+[f(x)-g(x)]’｜x=x0(x-x0)+[*][f(x)-g(x)]’’｜x=x0(x-x0)2+o(x-x0)2 =o((x-x0)2) (x→x0)． 即当x→x0时f(x)-g(x)是比(x-x0)2高阶的无穷小．
解析
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考研数学二

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